忽必烈建元以前，蒙古汗国的政治中心一直在蒙古草原上的哈喇和林。
燕京被成吉思汗攻克以后，蒙古统治者把它当成控制华北、中原的重要据点。
蒙哥汗在位时，一方面派自己的亲信来燕京充当断事官，控制燕京。另一方
面又委任自己的兄弟忽必烈 （拖雷四子）去管理“漠南汉地军国庶事”，实
质上在华北、中原地区形成了两个互相控制的政治集团。忽必烈受命管理汉
地之事以后，把自己的营帐选在草原和汉地接壤的开平 （今内蒙古正蓝旗
东），既能与哈喇和林联系，又能控制漠南汉地。他把开平作为他的基地，
为夺取政权积极准备人才。
公元1257年，忽必烈召见金朝遗老窦默 （理学家）、姚枢（理学家）、
李俊民等多入，又派董文用 （金朝降将董俊之子），专程去请李冶，忽必烈
说：“素闻仁卿学优才瞻，潜德不耀，久欲一见，请勿他辞。”
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这年五月，李冶在开平会见了忽必烈。下面是忽必烈和李冶的问答：
问：河南（金）居官者孰贤？
答：险夷一节，唯完颜仲德（金宰相，蒙古军破蔡州，赴水殉国）。
问：完颜合答（金元帅左监军）及蒲瓦（移刺蒲阿，契丹人，金权枢密
副使，与完颜合答均败于三峰山，被杀）何如？
答：二人将略短少，任之不疑，此金所以亡也。
问：魏征（唐太宗时诤臣）、曹彬（北宋太祖时忠武军节度使，伐南唐）
何如？
答：征忠言谠论，知无不言，以唐诤臣观之，征为第一。彬伐江南，未
尝妄杀一人，拟之方叔（周宣王卿士，北伐 狁，南征荆楚，有功于周）、
召虎 （周宣王时的召穆公，出征淮夷）可也。汉之韩（韩信）、彭（彭越）、
卫 （卫青）、霍（霍去病），在所不论。
问：今之臣有如魏征者乎？
答：今以侧媚成风，欲求魏征之贤，实难其人。
问：今之人材贤否？
答：天下未尝乏材，求则得之，舍则失之，理势然耳。今儒生有如魏А�
（金尚书令史）、王鄂（金一甲一名状元）、李献卿（金进士，以文学著名）……
辈，皆有用之材，又皆贤王所尝聘问者，举而用之，何所不可，但恐用之不
尽耳。然四海之广，岂止此数子哉。王诚能旁求于外，将见集于明廷矣。
问：天下当何以治之？
答：夫治天下，难则难于登天，易则易于反掌。盖有法度则治，控名责
实则治，进君子退小人则治，如是而治天下，岂不易于反掌乎。无法度则乱，
有名无实则乱，进小人退君子则乱，如是而治天下，岂不难于登天乎。且为
治之道，不过立法度，正纪纲而已。纪纲者，上下相维持；法度者，赏罚示
惩劝。今则大官小吏，下至编氓，皆自纵恣，以私害公，是无法度也，有功
者未必得赏，有罚者未必被罚，甚则有功者或反受辱，有罪者或反获宠，是
无法度也。法度废，纪纲坏，天下不变乱，已为幸矣。
问：昨地震何如？
答：天裂为阳不足，地震为阴有余。夫地道，阴也，阴太盛，则变常，
今之地震，或奸邪在侧，或女谒盛行，惑谗慝交至，或刑罚失中，或征伐骤
举，五者必有一于此矣。夫天之爱君，如爱其子，故示此以警之耳。苟能辨
奸邪，去女谒，屏谗慝，省刑罚，慎征伐，上当天心，下协人意，则可转咎
为休矣。
在忽必烈和李冶的问答中，李冶所答表明了他在三类问题上的态度：
第一，李冶的人才观：
“天下未尝乏材，求则得之，舍则失之，理势然耳”。
第二，李冶的政治见解：
“为治之道，不过立法度，正纪纲而已。纪纲者，上下相维持；法度者，
赏罚示惩劝”。
第三，李冶的政治建议：
“辨奸邪、去女谒、屏谗慝、减刑罚、慎征伐”。
李冶的这五条建议，虽然是他根据董仲舒的“天人感应”学说推导出来
的，在今人看来有些滑稽，但在当时的历史条件下，用这种学说比较容易打
动忽必烈这种向往汉化的蒙古族统治者，所以得到了忽必烈的赞赏。
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李冶在会见忽必烈之后，又回到了封龙山继续讲学著书。
李冶的《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作，但内容比较
深，粗知数学的人看不懂，而且由于理学思想的影响，数学不受重视，所以
天元术的传播速度较慢。
李冶深刻认识到天元术的重要性，于是便在封龙山教学的同时，着手写
一部普及天元术的著作。
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五、 《益古演段》
北宋数学家蒋周写过一本《益古集》，内容多为二次方程，列方程的方
法则是几何方法。
李冶读过蒋周的《益古集》，并用天元术对这本书进行了研究。
公元1259年，李冶的另一本数学著作——《益古演段》写成了。
《益古演段》全书共3卷，64题，处理的主要是平面图形的面积问题，
所求多为圆径、方边、周长之类。除四道题是一次方程外，全是二次方程问
题，内容安排基本上是从易到难。从这个角度来分析，《益古演段》这本书，
可能是李冶在教学过程中为学生所写的教材。
李冶在完成了《测圆海镜》之后再来写《益古演段》，他对天元术的运
用自然会更加熟练，但是他在这本书中却没有像他在《测圆海镜》中那样，
完全用天元术来解题。书中新旧二术并用，新术是李冶的代数方法——天元
术；旧术仍然是蒋周的几何方法——条段法。条段法是一种图解的方法，因
为方程各项常用一段一段的条形面积表示，所以得名为条段法。这本书揭示
了天元术和条段法的联系和区别，对我们了解条段法向天元术的过渡，探讨
数学发展规律有重要的意义。书中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验
证，这对于人们接受天元术是有好处的。这本书还图文并茂，深入浅出，不
仅有利于教学，也便于自学。
砚坚为李冶的 《益古演段》作了《序》，他在《序》中称赞这本书说：
“说之详，非若溟涬黯淡之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足观”。
这些特点，使 《益古演段》成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术
的传播起了不小的作用。
李冶的《益古演段》在数学理论上也有创新。该书的问题同《测圆海镜》
有所不同，所求的量不是一个而是两个、三个甚至四个。按照古代的方程理
论“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。”应该用方程组来解，所含
方程的个数与所求的个数是一致的。但是解二次方程组显然要比解一元方程
困难得多。
李冶既然已经完善了天元术的程序，便力图提高他的一般化程度，用以
解决各种多元问题。他的主要方法是利用出入相补的原理 （按照吴文俊的解
释，出入相补原理就是：“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若
把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形
移置前后诸面积的和差有简单的相等关系”。）及等量关系来减少未知数，
化多元为一元，找到关键的天元一。一旦这个天元一求出来，其他要求的量
就可根据与天元一的关系，很容易求出了。
例如第三十五问：
“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地5760步。只云从外田东南
楞至内池西北角，通斜113步，其内池阔不及长34步。问三事（指池长、池
阔及圆径）各多少？”
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这道题要求池长、池阔及圆径这三个数，如果用方程组去解，需要列出
三个方程，一个可能的列法是：
设圆径为x，直池长为Y，阔为Z，则
3 3
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设 y＝22。5x，则上式变为
2
…y－ 648y＋ 517545= 0
开方，得
y= 465
所以
2
x
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六、“世道相违，则君子隐而不仕”
蒙古大军攻南宋四川不下，就派兵绕道先攻下云南，在云南设置了郡县。
又从云南进攻安南 （今越南），安南王陈日煚败走海上，请降。
公元1258年2月，蒙古大举侵宋。蒙哥汗自率一军入蜀，而命忽必烈攻
鄂州（今湖北武昌），兀良合台的云南之师自交广北上攻潭州（今湖南长沙），
三路并举。四川一路，南宋军望风败降，只合州守将王坚坚守不降，并杀死
了蒙哥汗派去的招降使者。同时，蒙古军还攻破了南宋的海州（今江苏连云
港市西南海州镇）、涟水。另外，蒙古旭烈兀西征，平十余国，留在了西方，
建立了伊尔汗国。
公元1259年2月，蒙古大军包围了合州。合州军民英勇抗击蒙古大军。
7月，蒙哥汗为流矢所中，死于合州城下，合州之围遂解。
8月，忽必烈督师至鄂州。
9月，忽必烈渡过长江，包围了鄂州城。另派军攻入了临江（今江西清
江县西临江镇）、瑞州 （今江西高安县）。
11月，蒙古云南军攻入宋广西，长驱至潭州。这时，宋帅贾似道奉命请
和于蒙古，请求划江为界。
忽必烈这时已经得知了蒙哥汗的死讯，急于北归争夺汗位，遂答应了贾
似道的请求。
公元1260年3月，忽必烈在开平称大汗。
4月，蒙哥汗的弟弟阿里不哥在和林称大汗。
7月，忽必烈讨伐阿里不哥，蒙古内战爆发。
公元1261年7月，忽必烈在开平建翰林国史院，聘请李冶担任清高而显
要的工作——翰林学士知制诰同修国史。
这时，忽必烈正在逐步实行经济、政治改革。
经济方面：忽必烈改变了过去把农田变作牧场和掠夺人口为驱口的作
法，转而保护封建土地所有制，发展农业生产。他下令把许多牧场重新还作
农田，用租佃的方式招募农民耕种；有些则退给了农民。还下令禁止掠人为
奴，并把一些掠夺来的驱口释放为良民，从而增加了农业生产力。他还设立
了司农司、营田司等机构，专门负责农业生产和兴修水利。这样，经过与汉
族地区先进农业经济的长期接触，蒙古统治者终于放弃了在汉族地区推行其
落后的游牧经济和剥削方式的企图，开始大力扶持汉族地主，重视农业生产，
其自身也逐渐转化为封建大地主。
政治方面：忽必烈在政治上反对封建割据势力，加强了中央集权。蒙古
族统治者在初入中原地区时，对贵族进行了分封。这些贵族在封地内拥有对
其人民的统治权，可自置官吏，自断刑狱，自征赋税，完全是独立王国。忽
必烈逐渐改变了这种作法。他将封地改为赐田，使原来拥有封地的贵族成了
一般地主，大大削弱了其政治权势，从而使中央集权得到加强。当初蒙古人
进到中原，当地有些豪强地主投靠了蒙古人，受到信任。这些人拥有武装，
其地位子孙世袭，也是一种威胁中央集权的地方割据势力。忽必烈时期，他
们的兵权被解除了。
由于忽必烈重用汉族地主阶级知识分子，实行经济改革和政治改革，李
冶本可和其他汉族地主阶级知识分子一样，到忽必烈那里去做官，以实现自
己在政治上的抱负，然而，李冶却以老病为辞，婉言谢绝了。
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李冶谢绝到朝廷任职的原因有两个：
第一：忽必烈和其他蒙古统治者没有接受李冶“慎征伐”的政治建议，
而是大举攻宋，从而引起他的不满；
第二：蒙古爆发了内战，李冶不愿在这种动荡的政治局势下做官。正像
他自己所说的那样：“世道相违，则君子隐而不仕。”
蒙古忽必烈与阿里不哥的内战爆发后，一开始，忽必�
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